Organisatorisches

Vorlesungs-/Übungstermine

Zeit Raum
Mo., 14:00 – 15:30 0.124
Mi., 11:30 – 13:00 0.108

Die erste Vorlesung findet am 9. April statt.

Ab Montag, den 7. Mai, findet der Montagstermin in Raum 0.124 statt.

Bitte beachten Sie kurzfristige Termin- und Raumänderungen, die an dieser Stelle veröffentlicht werden.

Inhalte der Vorlesung

Folgende Tabelle gibt eine ungefähre Übersicht über die behandelten Themen.

Termin Inhalt
09.04. Fibonacci-Zahlen (Matrix-Darstellung, explizite Formel), erzeugende Funktionen, Binomialkoeffizient, fallende Faktorielle
11.04. Anzahl von Bäumen, allgemeiner Binomialsatz
16.04. Identitäten von Binomialkoeffizienten (Top 10), Polynommethode, kombinatorische Interpretation
18.04. Stirlingsche Zahlen 2. Art (Identitäten, Additionstheorem), Zyklenschreibweise von Permutationen
23.04. Stirlingsche Zahlen 1. Art (Identitäten, Additionstheorem), Catalansche Zahlen
25.04. Besprechung Blatt 1 (bis auf 2 b) & c), 5 b) & c) )
30.04. Catalan-Zahlen, Dyck-Wörter, Klammergebirge, Binärbäume
02.05. Einführung Gruppentheorie: Grundbegriffe, Kleiner Satz von Fermat, Nebenklassen, Ordnung, Satz von Lagrange
07.05. Eulersche φ-Funktion, Ordnung von Potenzen, Untergruppen zyklischer Gruppen sind zyklisch, G-Mengen
09.05. Besprechung von Blatt 2
14.05. Bahnen als Partition, Bahnenlemma, p-Gruppe, Zentrum, Konjugationsklassen, Satz von Cauchy, Normalteiler
16.05. Charakterisierungen von Normalteilern, Index, Untergruppen und Normalteiler mit endlichem Index, Homomorphiesatz (der Gruppentheorie)
21.05.
&
23.05.
Pfingstferien
28.05. (kommutative) Ringe, Körper, Einheitengruppe, ℤ/nℤ, Chinesischer Restsatz, Berechnung der Eulerschen φ-Funktion von Primpotenzen, RSA-Verfahren
30.05. Euklidischer Algorithmus und Lemma von Bézout, Polynome und Grad, Nullteilerfreiheit, Ring-Ideale, Hauptideale, ℤ und K[X] sind Hauptidealringe
04.06.
&
06.06.
Besprechung von Blatt 2 und Blatt 3
11.06. Noethersche Ringe, Hilbertsches Basistheorem
13.06. Nullstellen von Polynomen über Körpern, mehrfache Nullstellen und Ableitungen, Charakteristik, Einheitswurzeln in Körpern, endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers sind zyklisch, die Größe eines endlichen Körpers ist eine Primpotenz, Primideal, maximales Ideal
18.06. M ist maxiamles Ideal ⇔ R/M Körper; K[X]/f nullteilerfrei ⇔ f irreduzibel ⇔ K[X]/f Körper; Zerfällungskörper (mit Existenzbeweis)
20.06. kgV(n) ≥ 2n; Primzahlsatz; AKS-Primzahltest
25.06. Polynomielle Laufzeit und Korrektheit des AKS-Primzahltests, introspektive Zahlen
27.06. Korrektheit des AKS-Primzahltests (2. Teil)
02.07.
&
04.07.
Besprechung von Blatt 4 und ggf. Blatt 5
09.07. Fermat-Primzahltest, Charmichael-Zahlen, Rabin-Miller-Primzahltest
11.07. Randomisiertes Pattern-Matching nach Karp-Rabin
16.07. Besprechung von Blatt 5
18.07. Fibonacci-Zahlen und größter gemeinsamer Teiler, Lemma von Matijassewitsch, Abschluss

Übungsblätter

  • Blatt 1, Besprechung am 25. April
    (Aufgabe 4 wurde um ein fehlendes Minus-Zeichen ergänzt)
  • Blatt 2, Besprechung am 09. Mai
  • Blatt 3, Besprechung voraussichtlich 04. oder 06. Juni
  • Blatt 4
    (Änderung: Bei Aufgabe 3 muss es x(𝔽-1)/2 bei b) und „kein Quadrat“ bei d) heißen und bei Aufgabe 4 xq = x(p + 1)/4.)
  • Blatt 5

Scheinbedingungen

Scheinbedingung ist eine aktive Teilnahme an den Übungen, insbesondere sollte mindestens einmal vorgerechnet werden. Die Erfüllung der Scheinkriterien ist eine notwendige Voraussetzung um zur Prüfung zugelassen zu werden.

Literatur

  • Vorlesungsfolien
  • Volker Diekert, Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger:
    Elemente der Diskreten Mathematik, Walter de Gruyter, 2013.
  • Volker Diekert, Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger:
    Diskrete algebraische Methoden, Walter de Gruyter, 2013.
  • Volker Diekert, Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger, Ulrich Hertrampf:
    Discrete Algebraic Methods, Walter de Gruyter, 2016.
  • Philippe Flajolet, Robert Sedgewick:
    Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2009
  • Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik:
    Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, 1994
  • Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil:
    Diskrete Mathematik - Eine Entdeckungsreise, Springer-Verlag, 2002

News

[Oct’18] The paper “Worst-Case Efficient Sorting with QuickMergesort” by Stefan Edelkamp and Armin Weiß has been accepted at ALENEX 2019.

[Jun’18] At CCC 2018, Lukas Fleischer received a Best Student Paper Award for his submission “On the Complexity of the Cayley Semigroup Membership Problem”.

[Jun’18] The paper “Testing Simon’s congruence” by Lukas Fleischer and Manfred Kufleitner was accepted at MFCS 2018.

[Jun’18] The paper “The Intersection Problem for Finite Semigroups” by Lukas Fleischer was accepted at DLT 2018.

[Apr’18] The paper “The isomorphism problem for finite extensions of free groups is in PSPACE” by Géraud Sénizergues and Armin Weiß was accepted at ICALP 2018.

[Apr’18] The paper “On the Complexity of the Cayley Semigroup Membership Problem” by Lukas Fleischer was accepted at CCC 2018.

[Jan’18] On March 24-29, 2019 Volker Diekert, Markus Lohrey, Olga Kharlampovich and Alexei Miasnikov will organize the Schloss Dagstuhl Seminar “Algorithmic Problems in Group Theory”.

[Dec’17] The paper “The Intersection Problem for Finite Monoids” by Lukas Fleischer and Manfred Kufleitner was accepted at STACS 2018.

[Jun’17] At the 12th International Computer Science Symposium in Russia (CSR), Lukas Fleischer and Manfred Kufleitner received a Best Paper Award for their publication “Green’s Relations in Finite Transformation Semigroups”, and Armin Weiss received a Best Paper Award for “The conjugacy problem in free solvable groups and wreath product of abelian groups is in $\text{TC}^0$ \text{TC}^0 “ which is joint work with Alexei Miasnikov and Svetla Vassileva.