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Konkrete Mathematik

Organisatorisches

Dozent: PD Dr. Manfred Kufleitner

Übungen: Lukas Fleischer

Vorlesungstermine:

Zeit Raum Termine Vorlesung
Mo 14:00–15:30 0.108 wöchentlich
Di 11:30–13:00 0.108 vierzehntäglich im Wechsel mit der Übung

Bitte beachten Sie kurzfristige Termin- und Raumänderungen, die an dieser Stelle veröffentlicht werden.

Übungstermine:

Zeit Raum Termine Übungen
Di 11:30–13:00 0.108 vierzehntäglich mit der Vorlesung im Wechsel

Aktuelles und Inhalte der Vorlesung

  • 13.04.2015: Binomialkoeffizienten, Additionstheorem, Binomialsatz, Wachstum der Binomialkoeffizienten, Teilbarkeitsrelation, das kleinste gemeinsame Vielfache kgV(n) der Zahlen 1,…,n, Binomialkoeffizienten als Teiler von kgV(n), untere Schranke 2n für kgV(n).
  • 14.04.2015: obere Schranke 4n-1 für kgV(n), obere und untere Schranke für die Primzahldichte π(n), Bertrand’sches Postulat, untere Schranke für die Anzahl der Primzahlen zwischen n und 2n, Größe der n-ten Primzahl, Wachstum der Fakultätsfunktion.
  • 20.04.2015: Wachstum der Harmonischen Zahlen Hn: untere Schranke 1/n+ln(n), obere Schranke 1+ln(n); bijektive Beweise und kombinatorische Interpretation; Anzahl der Abbildungen von A nach B; Anzahl der bijektiven/injektiven Abbildungen von A nach B; Größe der Potenzmenge; kombinatorische Interpretation von Binomialkoeffizienten; Polynommethode; bijektiver Beweis des Additionstheorems; trinomiale Revision.
  • 27.04.2015: Binomialinversion, obere Summation von Binomialkoeffizienten, parallele Summation von Binomialkoeffizienten, Vandermonde’sche Konvolution, Auswahl mit Wiederholung, allgemeiner Binomialsatz.
  • 28.04.2015: Geometrische Reihe als Folgerung aus dem allgemeinen Binomialsatz, Multinomialkoeffizienten und Multinomialsatz, Durchschnittsanalyse von Bubblesort, Inklusion und Exklusion, Siebformel von Sylvester, Rencontres-Zahlen.
  • 04.05.2015: Stirling’sche Zahlen zweiter Art, einfache Spezialfälle der Stirling’schen Zahlen zweiter Art, Additionstheorem für Stirling’sche Zahlen zweiter Art, Anzahl der Surjektionen, Potenz als Summen von fallenden Faktoriellen, Zykel einer Permutation, Zykelschreibweise für Permutationen, Stirling’sche Zahlen erster Art, Anzahl der Permutationen als Summen von Stirling’schen Zahlen erster Art, Abschätzungen für Stirling’sche Zahlen zweiter Art, einfache Spezialfälle der Stirling’schen Zahlen erster Art, Additionstheorem für Stirling’sche Zahlen erster Art, Anzahl Permutationen mit zwei Zykeln, Dualität zwischen Stirling’schen Zahlen erster und zweiter Art, Stirling’scher Schmetterling, Bell-Zahlen, Rekursionsformel für Bell-Zahlen.
  • 11.05.2015: Bäume, Catalan-Zahlen, Dyck-Wörter als kombinatorische Interpretation, Klammergebirge, (saturierte) Binärbäume, Rekursionsformel für Catalan-Zahlen, Cayley-Formel für Bäume, Prüfer-Codes.
  • 12.05.2015: Verknüpfung, Operation, assoziative, kommutativ, abelsch, neutral, Einselement und Eindeutigkeit, Nullelement und Eindeutigkeit, Inverses und Eindeutigkeit, Halbgruppe, Monoid, Gruppe, Unterstruktur, Homomorphismus, Isomorphismus, bijektive Homomorphismen, Links- und Rechtsnebenklasse, G/H, H\G, Eigenschaften von Nebenklassen, Gruppenordnung (kurz: Ordnung), Elementordnung (kurz ebenfalls: Ordnung), Index einer Untergruppe, Satz von Lagrange, Eigenschaften der Elementordnung, zyklische Gruppen, erzeugendes Element (kurz: Erzeuger), Gruppen von Primzahlordnung, Untergruppen zyklischer Gruppen.
  • 18.05.2015: Elementordnung bei Produkten, Satz von Cauchy: Zu jedem Primteiler der Gruppenordnung gibt es ein Element diese Ordnung, symmetrische Gruppen, Anzahl der Fehlstellungen einer Permutation, Vorzeichen (Signum), Transpositionen und Vorzeichen.
  • 19.05.2015: Kern und Bild eines Homomorphismus, Normalteiler, Charakterisierung von Normalteilern, Faktorgruppe, Untergruppen von Index 2 sind Normalteiler, Homomorphiesatz der Gruppentheorie, Ringe, kommutative Ringe, Nullring, Einheitengruppe/multiplikative Gruppe, Schiefkörper, Körper, Unterringe, Unterkörper, Ringhomomorphismus, Ideal, Restklassen, Restklassenring, Homomorphiesatz der Ringtheorie.
  • 01.06.2015: Ringhomomorphismen von einem Körper in einen Ring sind injektiv; maximale Ideale; R/M ist genau dann dann ein Körper, wenn M maximal ist; Nullteiler; nullteilerfrei; Charakteristik; in nullteilerfreien Ringen ist die Charakteristik 0 oder eine Primzahl; in einem Ring mit Primzahlcharakteristik p definiert hoch-p einen Ringhomomorphismus; kleiner Satz von Fermat für Ringe; größter gemeinsamer Teiler; teilerfremd; euklidischer Algorithmus; in den ganzen Zahlen wird jedes Ideal von nur einem Element erzeugt.
  • 08.06.2015: Lemma von Bézout, erweiterter euklidischer Algorithmus, Rekursionstiefe und Laufzeit des erweiterten euklidischen Algorithmus, invertieren modulo n, multiplikative Gruppe modulo n, Ideal in den ganzen Zahlen, der chinesische Restsatz, die eulersche phi-Funktion, Berechnung der eulerschen phi-Funktion bei bekannter Primzahlfaktorisierung, der Satz von Euler, von X erzeugtes Ideal, Hauptideal, formale Potenzreihen, Polynome, Nullpolynom, Grad eines Polynoms, Leitkoeffizient, Unbestimmte/Variable.
  • 09.06.2015: Schnelle modulare Exponentiation, das RSA-Kryptosystem, Korrektheit von RSA, Polynomring, Ring der formalen Potenzreihen, Addition und Multiplikation von formalen Potenzreihen/Polynomen, Nullteilerfreiheit überträgt sich auf formale Potenzreihen, Invertierbarkeit formaler Potenzreihen, Gradformel, Ableitung, Ableitungsregeln für Addition und Multiplikation, Modulooperation für Polynome (Existenz und Eindeutigkeit), Polynomringe über Körpern sind Hauptidealringe, ggT für Polynome, teilerfremde Polynome.
  • 22.06.2015: Nullstelle s und Teilbarkeit durch das Polynom X-s, Vielfachheit einer Nullstelle, einfache Nullstellen, in nullteilerfreien Ringen haben Polynome vom Grad d höchstens d Nullstellen (auch wenn man die Vielfachheiten beachtet), Einfachheit einer Nullstelle s und die Ableitung bei s; in einem Polynom f über einem Körper sind genau dann alle Nullstellen einfach, wenn f und f’ teilerfremd sind; irreduzible Polynome; K[X]/f ist genau dann ein Körper, wenn f irreduzibel ist; für f ungleich 0 ist die additive Gruppe K[X]/f isomorph zu Kdeg(f), Primkörper, endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers sind zyklisch, die Summe der Elemente einer nichttrivialen endlichen Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ergibt 0.
  • 23.06.2015: Erweiterungskörper, Zerfällungskörper; zu dem Polynom f über einem Körper K existiert ein Erweiterungskörper E, über dem f in Linearfaktoren zerfällt (und wenn K endlich ist, dann auch E); algebraischer Abschluss, die Anzahl der Elemente in einem endlichen Körper ist eine Primzahlpotenz, zu jeder Primzahlpotenz q gibt es einen Körper mit q Elementen, Quadrate, Euler-Kriterium, Wurzelziehen in endlichen Körpern nach Cipolla, Korrektheit des Algorithmus von Cipolla.
  • 29.06.2015: Erfolgswahrscheinlichkeit des Algorithmus von Cipolla, Wurzelziehen in Gruppen ungerader Ordnung, Primzahlerkennung in deterministischer Polynomialzeit (Teil 1).
  • 30.06.2015: Primzahlerkennung in deterministischer Polynomialzeit (Teil 2).
  • 06.07.2015: Jacobi-Symbol, Zolotarevs Lemma, Legendre-Symbol, das quadratische Reziprozitätsgesetz.
  • 13.07.2015: Berechnung des Jacobi-Symbols, der Solovay-Strassen-Primzahltest, Fehlerwahrscheinlichkeit von höchstens 50% beim Solovay-Strassen-Primzahltest, der Miller-Rabin-Primzahltest, Fehlerwahrscheinlichkeit von höchstens 25% beim Miller-Rabin-Primzahltest (Teil 1).
  • 14.07.2015: Fehlerwahrscheinlichkeit von höchstens 25% beim Miller-Rabin-Primzahltest (Teil 2); Faktorisierung von n, wenn phi(n) nur kleine Primteiler hat; Sicherheit des geheimen Schlüssels beim RSA-Verfahren; die Einheitengruppe modulo pe ist zyklisch, wenn p eine ungerade Primzahl ist.
  • 20.07.2015: Gewöhnliche erzeugende Funktionen, Konvergenzradius und Wachstum, einfache Beispiele erzeugender Funktionen, die erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen, Lösen von Rekursionsgleichungen, die erzeugende Funktion der Stirling-Zahlen zweiter Art, exponentielle erzeugende Funktionen, Konvergenzradius und Wachstum bei exponentiellen erzeugenden Funktionen, die exponentielle erzeugende Funktion der Stirling-Zahlen zweiter Art, Ableitung und Erwartungswert bei erzeugenden Funktionen.
  • 21.07.2015: Das Lovasz-Local-Lemma und die Erfüllbarkeit boolescher Formeln.

Übungsblätter

  • Blatt 1 (PDF, Besprechung am 21.04.)
  • Blatt 2 (PDF, Besprechung am 05.05.)
  • Blatt 3 (PDF, Besprechung am 02.06.)
  • Blatt 4 (PDF, Besprechung am 15.06.)
  • Blatt 5 (PDF, Besprechung am 16.06.)
  • Blatt 6 (PDF, Besprechung am 07.07.)

Scheinbedingungen

Scheinbedingung ist eine aktive Teilnahme an den Übungen, insbesondere sollte mindestens einmal vorgerechnet werden. Die Erfüllung der Scheinkriterien ist eine notwendige Voraussetzung um zur Prüfung zugelassen zu werden.

Literatur

  • Volker Diekert, Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger:
    Elemente der Diskreten Mathematik, Walter de Gruyter, 2013.
  • Volker Diekert, Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger:
    Diskrete algebraische Methoden, Walter de Gruyter, 2013.
  • Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik:
    Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, 1994
  • Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil:
    Diskrete Mathematik - Eine Entdeckungsreise, Springer-Verlag, 2002

News

[Jun’23] The paper “Parallel algorithms for power circuits and the word problem of the Baumslag group” by Caroline Mattes and Armin Weiß has been accepted at Computational Complexity.

[Oct’22] The paper “Lower Bounds for Sorting 16, 17, and 18 Elements” by Florian Stober and Armin Weiß has been accepted at ALENEX 2023.

[Sep’22] The paper “Conelikes and Ranker Comparisons” by Viktor Henriksson and Manfred Kufleitner has been accepted at LATIN 2022.

[Sep’22] The paper “Improved Parallel Algorithms for Generalized Baumslag Groups” by Caroline Mattes and Armin Weiß has been accepted at LATIN 2022.

[Apr’22] The paper “Reachability Games and Parity Games” by Volker Diekert and Manfred Kufleitner has been accepted at ICTAC 2022.

[Apr’22] The paper “Satisfiability Problems for Finite Groups” by Pawel M. Idziak, Piotr Kawalek, Jacek Krzaczkowski and Armin Weiß has been accepted at ICALP 2022.

[Mar’22] The paper “The Power Word Problem in Graph Products” by Florian Stober and Armin Weiß was accepted at DLT 2022.

[Nov’20] Volker Diekert is Partner Investigator in the Australian ARC grant “Geodetic groups: foundational problems in algebra and computer science” at University of Technology Sydney.

[Apr’20] The paper “Groups with ALOGTIME-hard word problems and PSPACE-complete circuit value problems” by Laurent Bartholdi, Michael Figelius, Markus Lohrey and Armin Weiß has been accepted at CCC 2020.

[Apr’20] The paper “Hardness of equations over finite solvable groups under the exponential time hypothesis” by Armin Weiß has been accepted at ICALP 2020.

[Dec’19] The paper “An Automaton Group with PSPACE-Complete Word Problem” by Jan Philipp Wächter and Armin Weiß has been accepted at STACS 2020.

[Nov’19] Carlos Camino was awarded the stuvus Special Prize for exceptional commitment in teaching.

[Jun’19] The paper “The power word problem” by Markus Lohrey and Armin Weiß has been accepted at MFCS 2019.

[May’19] The paper “On the Average Case of MergeInsertion” by Florian Stober and Armin Weiß has been accepted at IWOCA 2019.

[Oct’18] The paper “Worst-Case Efficient Sorting with QuickMergesort” by Stefan Edelkamp and Armin Weiß has been accepted at ALENEX 2019.

[Jun’18] At CCC 2018, Lukas Fleischer received a Best Student Paper Award for his submission “On the Complexity of the Cayley Semigroup Membership Problem”.

[Jun’18] The paper “Testing Simon’s congruence” by Lukas Fleischer and Manfred Kufleitner was accepted at MFCS 2018.

[Jun’18] The paper “The Intersection Problem for Finite Semigroups” by Lukas Fleischer was accepted at DLT 2018.

[Apr’18] The paper “The isomorphism problem for finite extensions of free groups is in PSPACE” by Géraud Sénizergues and Armin Weiß was accepted at ICALP 2018.

[Apr’18] The paper “On the Complexity of the Cayley Semigroup Membership Problem” by Lukas Fleischer was accepted at CCC 2018.

[Jan’18] On March 24-29, 2019 Volker Diekert, Markus Lohrey, Olga Kharlampovich and Alexei Miasnikov will organize the Schloss Dagstuhl Seminar “Algorithmic Problems in Group Theory”.

[Dec’17] The paper “The Intersection Problem for Finite Monoids” by Lukas Fleischer and Manfred Kufleitner was accepted at STACS 2018.

[Jun’17] At the 12th International Computer Science Symposium in Russia (CSR), Lukas Fleischer and Manfred Kufleitner received a Best Paper Award for their publication “Green’s Relations in Finite Transformation Semigroups”, and Armin Weiss received a Best Paper Award for “The conjugacy problem in free solvable groups and wreath product of abelian groups is in $\text{TC}^0$ \text{TC}^0 “ which is joint work with Alexei Miasnikov and Svetla Vassileva.